Rad-supplemented modules and flat covers of quivers

Abstract

R birim elemanı olan herhangi bir halka, M bir sol R-modül ve ? sol R-modüller kategorisi için bir radikal olsun. Eğer V, M'de bir ?-tümleyen ise, o zaman V ile ?(M)'nin kesişimi ?(V) olur; özellikle eğer V, M'de bir Rad-tümleyen ise, o zaman V ile Rad M'nin kesişimi Rad V olur. M ?-tümlenmişdir ancak ve ancak M'nin P?(M)'ye göre çarpan modülü ?-tümlenmiş ise, burada P?(M), M'nin bütün ?-burulma alt modüllerinin toplamıdır. Eğer V, M'de ?-tümleyen ve ?-koatomik ise, o zaman V, M'de tümleyendir. Her R-modül Rad-tümlenmişdir ancak ve ancak R/P(R) sol mükemmel halka ise, burada P(R), Rad I=I şeklindeki R'nin sol ideallerinin toplamıdır. Bir R sol duo halkası için, R, sol R-modül olarak, Rad-tümlenmişdir ancak ve ancak R/(R) yarı-mükemmel halka ise. R bir Dedekind tamlık bölgesi ise, M Rad-tümlenmişdir ancak ve ancak M/D tümlenmiş ise, burada D, M'nin bölünebilir kısmıdır. Maks-injektif modüller ile Neat-koinjektif modüller çakışmaktadır, burada Neat bütün basit modüller tarafından projektif olarak üretilen bir öz sınıftır. R bir sol C-halka'dır ancak ve ancak bütün maks-injektif R-modüller injektif ise. Bir Dedekind tamlık bölgesinde, A'dan B'ye bir f modül homomorfizması Enochs'un tanımına göre düzenlidir ancak ve ancak f'nin çekirdeği Rad A'nın içinde ise ve görüntüsü B'de kapalı ise. Eşkapalı altmodüller ile tanımlanan bütün kısa tam dizilerin sınıfı bir öz sınıftır. Enochs'un düzenli epimorfizmaları ile tanımlanan sınıf bir öz sınıf biçiminde değildir. Burulmasız ve injektif R-modüllerin direkt toplamının yine injektif olması durumunda, kaynak injektif temsil kuiverler sınıfında yer alan geniş bir kuiverler sınıfı için, kuiverlerin temsilleri kategorisinde, bir burulma teorisine göre, burulmasız örtüler vardır. Herhangi bir Q kuiveri için,? bileşenlere göre? düz örtüler vardır. ?Kategorik? düz örtüler ve ?bileşenlere göre? düz örtüler genelde çakışmaz, burada "kategorik" düz nesne, Stenström'ün pür altnesneler cinsinden tanımladığı düz nesnedir. Let R be an arbitrary ring with unity, M be a left R-module and ? be a radical for the category of left R-modules. If V is a ?-supplement in M, then the intersection of V and ?(M) is ?(V); in particular, if V is a Rad-supplement in M, then the intersection of V and Rad M is Rad V. M is ?-supplemented if and only if the factor module of M by P?(M) is ?-supplemented, where P?(M) is the sum of all ?-torsion submodules of M. If V is both a ?-supplement in M and ?-coatomic, then it is a supplement in M. Every left R-module is Rad-supplemented if and only if R/P(R) is a left perfect ring, where P(R) is the sum of all left ideals I of R such that Rad I = I. For a left duo ring R, R is Rad-supplemented as a left R-module if and only if R/P(R) is semiperfect. For a Dedekind domain R, M is Rad-supplemented if and only if M/D is supplemented, where D is the divisible part of M. Max-injective R-modules and Neat-coinjective R-modules coincide, where Neat is the proper class projectively generated by all simple modules. A ring R is a left C-ring if and only if all left max-injective R-modules are injective. Over a Dedekind domain, a homomorphism f from A to B of modules is neat in the sense of Enochs if and only if the kernel of f is in Rad A and the image of f is closed in B. The class of all short exact sequences determined by coclosed submodules forms a proper class. Those determined by neat epimorphisms of Enochs does not form a proper class. Torsion free covers, relative to a torsion theory, exist in the category of representations by modules of a quiver for a wide class of quivers included in the class of the source injective representation quivers provided that any direct sum of torsion free injective modules is injective. For any quiver Q and any ring R, "componentwise" flat covers exist. "Categorical" flat covers and `"componentwise" flat covers do not coincide in general, where by "categorical" flat object we mean Stenström's concept of flat object defined in terms of purity.