Kesikli kuantum yürüyüş modeli ve uygulamaları

Abstract

Bu tezde, kesikli kuantum yürüyüş modeli incelenmiş ve bu modelle ilgili bazı uygulamalara yer verilmiştir. Kuantum yürüyüş, kuantum algoritmalarının tasarlanmasında ve kuantum difüzyon olaylarının açıklanmasında kullanılan matematiksel bir modeldir. Kuantum yürüyüşün potansiyelini tam olarak kullanabilmek ve etkili kuantum algoritmaları oluşturabilmek için kuantum yürüyüşün özelliklerini iyi bilmek ve eş-evresizlik (decoherence) problemi karşısında kuantum yürüyüşün davranışını anlamak gerekir. Eş-evresizlik yokken ve eş-evresizlik etkisi altında kuantum yürüyüşün dinamiği ile ile ilgili birçok çalışma yapılmış ve çeşitli eş-evresizlik modelleri önerilmiştir. Bu konudaki çalışmalar halen devam etmektedir. Bu nedenle bu tezde, kuantum yürüyüş ve eş-evresizlik ile ilgili problemler incelenmiştir. İlk çalışmada, iki boyutlu tuzaklı örgüde kuantum yürüyüşte eş-evresizlik problemi, kuantum Hadamard, Fourier ve Grover yürüyüşleri için incelenmiş, Hadamard yürüyüşünde ortaya çıkan eş-evresizliğin Fourier ve Grover modelindeki eş-evresizlikten daha küçük olduğu gösterilmiştir. İkinci çalışmada, aynı fakat üç boyutlu tuzaklı örgü modelinde Hadamard yürüyüşü kullanılarak, kuantum eş-evresizliğin boyuta bağlılığı incelenmiş ve eş-evresizlik ile örgü-boyutu arasındaki ilişkiler bulunmuştur. Son çalışmada, kuantum yürüyücülerin tuzaklı örgüde yaşama olasılıkları tartışılmış, yürüyücülerin yaşama olasılıklarının (survival probability) zamana bağlı evriminin gerilmiş üstel yasaya uyduğu bulunmuştur. In this thesis, discrete quantum walk model is examined and presented some applications of this model. Quantum walk is a mathematical model which is used for designing quantum algorithms and explaining quantum diffusion processes. In order to use the quantum walk's potential fully and compose efficient quantum algorithms, it is important to know its properties and understand its behavior against to decoherence problem. A lot of studies of the quantum walk's dynamics in the absence and presence of decoherence have been made and various decoherence models have been presented. Studies of this subject have still continued. Therefore, in this thesis, quantum walk and decoherence problems have been examined. In the first study, quantum Hadamard, Fourier and Grover walks have been analyzed in two dimensional trapped lattice and found that generated decoherence in Hadamard walk is more smaller than generated in Fourier and Grover walks. In the second study, using the same but three dimensional trapped lattice model with Hadamard walk, the dependence of dimension of decoherence has been investigated and relations between decoherence and lattice dimension have been found. In the last study, survival probability of quantum walkers has been examined in trapped lattice and found that evaluation of the time dependence of the survival probability of quantum walkers obeys the stretched exponential law