Optimization of loss probability in the GI/M/n/0 queueing model with heterogeneous servers

Abstract

Bu çalışmada rekurent girişli, sınırlı kapasiteli, bekleme hattının olmadığı, n heterojen kanallı GI/M/n/0 kuyruk modeli incelenir. Hizmet disiplini iki farklı şekilde ele alınır. Birincisinde, müşteriler boş olan kanallardan herhangi birinden eşit olasılıkla hizmet alır. İkincisinde, müşteriler boş olan kanallar arasından index numarası en düşük olan kanalda 1'e eşit olasılıkla hizmet alır. Her iki durumda da, bütün kanallar dolu ise, müşteriler hiç bir hizmet almadan sistemden ayrılır. Bu müşteriler `kayıp müşteriler', kayıp müşterilerin akımı ise `kaybolan müşteri akımı' olarak adlandırılır. Heterojen kanallı GI/M/n/0 kuyruk modelinin analizi yarı-Markov süreci kullanılarak yapılır. Sistemi temsil eden yarı-Markov süreci tanımlanır ve yarı-Markov sürecinin çekirdek fonksiyonları türetilir. Bu formülün bir uygulaması heterojen kanallı GI/M/3/0 kuyruk modeli için gösterilir. Yarı-Markov sürecinin çekirdekleri kullanılarak, bir-adım geçiş olasılıkları ve durağan durum olasılıkları ilgili kuyruk modeli için elde edilir. Heterojen kanallı GI/M/n/0 kuyruk modeli için kaybolan müşteri akımının analizi yapılır, kaybolma anları arasındaki sürenin dağılımının Laplace-Stieltjes dönüşümü elde edilir ve müşterinin kaybolma olasılığı formüle edilir. Bu formülün bir uygulaması heterojen kanallı GI/M/2/0 kuyruk modeli için gösterilir ve müşterinin kaybolma olasılığı hesaplanır. Kanal sayısı artarken kaybolma olasılığının tam çözümünün bulunması sayısal olarak zorlaşır, ayrıca geliş süreci dağılımına göre kaybolama olasılığının minimize edilmesi imkansız hale gelir. Bu açıdan oldukça geniş bir simülasyon çalışması yapılır ve kaybolma olasılığı, gelişlerarası sürelerin farklı dağılımları için ve farklı hizmet disiplinleri için hesaplanır. Kaybolma olasılığının minimum olduğu koşullar simülasyon optimizasyonuyla belirlenir This study is mainly concerned with the finite-capacity queueing system with recurrent input, n heterogeneous servers, and no waiting line represented by GI/M/n/0. The service discipline is addressed in two different ways. Firstly, customers choose only one server from the empty servers with equal probability. Secondly, customers choose the server with the lowest index number among the empty servers with probability 1. In both cases, when all servers are busy, customers depart from the system without taking any service. These customers are called `lost customers? and the flows of lost customers are called `stream of overflows?. The queueing model GI/M/n/0 with heterogeneous servers is analyzed using semi-Markov process. The semi-Markov process representation of the system is described and the kernel functions of semi-Markov process are derived. An implementation of this formula is performed for the queueing model GI/M/3/0 with heterogeneous servers. Using the kernels of semi-Markov process, one-step transition probabilities, and steady-state probabilities are obtained for the related queueing model. The stream of overflows is analyzed for the queueing model GI/M/n/0 with heterogeneous servers, the Laplace-Stieltjes transform of the distribution of the time between overflows is obtained and the loss probability of customers is formulated. An implementation of this formula is performed for the queueing model GI/M/2/0 with heterogeneous servers, and the loss probability of customers is computed. It becomes computationally intractable to compute the exact solution of loss probability, besides it is impossible to minimize the loss probability according to distribution of arrival process as the number of servers increases. In this respect a quite extensive simulation study is performed and the loss probability is computed for different distributions of interarrival times and different service disciplines. The conditions in which the loss probability is minimum are determined by simulation optimization