Yeraltı suyu akımlarının modellenmesinde kollokasyon metodu

Abstract

Mühendislik sistemleri veya problemleri çoğu zaman yapılan kabullere bağlı olarak 1, 2 veya 3 boyutta kısmi diferasiyel denklemeler ile ifade edilebilirler. Fakat gerek problemin doğasının karmaşıklığı gerekse sınır şartlarının çokluğundan dolayı bu kısmi diferansiyel denklemlerin kesin çözümlerine matematiksel yöntemlerle ulaşılamaz. Bu noktada kesin çözümü bulunamayan diferansiyel denklemlere belirli bir hata kabulü yapılarak yaklaşık çözümler sunulmaya çalışılmıştır. Sonlu farklar, sonlu elemanlar, sonlu hacimler yöntemleri gibi klasik yöntemlerin yanı sıra son yıllarda kollokasyon yöntemleri de mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılmaya başlanmıştır. Daha az dügüm noktasi kullanarak daha hassas sonuçlar elde edebilmesine olanak sağlayan kollokasyon yöntemi, sonlu elemanlar ve sonlu farklar gibi verilen diferansiyel denklemi, çözüm bölgesi için önceden seçilen dügüm noktalarinda bilinmeyen fonksiyon değerlerine bağli bir lineer denklem takımına indirgemektedir._x000B_Günümüze kadar yaklaşık çözümler elde etmek amacıyla bir çok yöntem geliştirilmiş ve bunların bir kısmı teoriden pratiğe teknolojik yetersizliklerden dolayı geçememiştir. Teknolojideki gelişme geçmişte teoride kalmış bir çok yöntemi uygulanabilir kılmıştır.. Bu yöntemlerin her birinin; ihtiyaç duyulan bilgisayar kapasitesi, zaman ve hassasiyet açısından birbirlerine göre avantajları ve dezavantajları bulunmaktadır._x000B_Bu çalışmada, iki boyutlu yeraltı suyu akımı incelenerek kollokasyon yöntemi ile sayısal bir model geliştirilmiştir. Karşılaştırma amacıyla kapalı ve açık formda sonlu farklar yöntemi ile de çözüm yapılmıştır. Öncelikle analitik çözümü bilinen 2 boyutlu kısmi diferansiyel denklem çözülmüş ve sonlu fark yöntemleri ile kollokasyon yöntemi karşılaştırılmıştır. Elde edilen sonuçlar kollokasyon yönteminin sonlu fark yöntemlerinde daha iyi sonuçlar verdiğini göstermektedir. İkinci örnekte ise iki boyutlu bir yeraltı suyu problemi sonlu fark yöntemleri ve kollokasyon yöntemi ile çözülmüştür. Programlamada MATLAB programı kullanılmıştır. Engineering systems or problems can be expressed usually with partial differential equations in one, two or three dimensions. But because of complexity of problem comes from nature itself and considerable amount of limit conditions, differential equations cannot be solved precisely by mathematical methods. At this point approximate solutions with specific error assumption are presented to differential equations which cannot be solved absolutely. Beside classical methods like finite differences, finite elements and finite volumes, in last years collocation methods are used frequently in solving engineering problems. Collocation method that provides more accurate by using less tie points, can degrade given differential equation like finite elements and finite differences, to linear equation system that is bounded to unknown function values on tie point selected before for solution area._x000B_Until today many methods developed for acquiring approximate solutions and some of them cannot be applied due to technological insufficiency. Technological advances make many applicable methods in theory. Each method has their own advantages and disadvantages in respect to needed computation capacity, time or precision._x000B_In this study, by examining two-dimensional groundwater flow, a numerical model developed with collocation method. For reference, the problem is solved with finite differences method in open and close forms. First of all, 2 dimensional partial differential equation which has exact solution is solved and then that solution is used to compare to finite difference method and collocation method. This comparison shows us, that the collocation method is better than the finite differences method. For the second example a groundwater flow problem is solved with finite differences and collocation methods. MATLAB is used for programming.