Proper classes generated by simple modules

Abstract

R birimli bir halka olsun ve E de sol R-modüllerin bir kısa tam dizisi olsun. Eğer her basit sol R-modül bu kısa tam diziye göre projektif ise Eye düzenli-tam dizi denir. Eğer her sol primitif P ideali için E kısa tam dizisinin solundan R/P ile tensör çarpımı alınarak elde edilen dizi bir kısa tam dizi oluyorsa, Eye P- saf-tam dizi diyoruz. Bunlar sol R-modüllerin kısa tam dizilerinin öz sınıflarını verir. N-tamlık bölgelerinin karakterizasyonu, yani, P-saflık ve düzenliliğin denk olduğu değişmeli tamlık bölgelerinin karakterizasyonu László Fuchs tarafından yakın zamanda verilmiştir: Bunlar her maksimal ideali projektif olan (ve değişmeli tamlık bölgesinde olması nedeniyle zorunlu olarak sonlu üretilmiş olan) değişmeli tamlık bölgeleridir. Biz bu yeter koşulu basit R-modüllerin Auslander-Bridger transpozunu kullanarak değişmeli halkalara genelledik, yani, eğer R değişmeli halkası her maksimal ideali projektif olan bir halka ise, P-saflık ve düzenliliğin denk olduğunu gösterdik. Tersine gerek koşulun kaidesi sıfır olan değişmeli halkalar için sağlandığını gösterdik, yani, eğer P-saflık ve düzenliliğin denk olduğu değişmeli bir R halkasının kaidesi sıfır ise R halkasının her maksimal ideali projektif ve sonlu üretilendir. Let R be a ring with unity. A short exact sequence E of left R-modules is said to be neat-exact if every simple left R-module is projective with respect to it. We call it P-pure-exact if for every left primitive ideal P of R, the sequence obtained by taking the tensor product of E from the left by R/P is exact. These give proper classes of short exact sequences of left R-modules. The characterization of N-domains, that is, the commutative domains such that neatness and P-purity coincide, has been given recently by László Fuchs: they are the commutative domains where every maximal ideal is projective (and so necessarily finitely generated in the commutative domain case). We extend this sufficient condition to commutative rings using the Auslander- Bridger tranpose of simple R-modules, that is, we prove that if R is a commutative ring where every maximal ideal is projective and finitely generated, then neatness and P-purity coincide. Conversely, we show that the necessary condition holds for commutative rings with zero socle, that is, we show that if R is a commutative ring where neatness and P-purity coincide and if R has zero socle, then every maximal ideal of the ring R is projective and finitely generated